Question

如图，已知面PBC⊥矩形ABCD所在平面，△PBC是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是正方形，且E、F分别为AB、PD的中点；
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）点G在PD上移动，求证：EF⊥CG；
（3）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PC的中点H，连接FH，EF，BH，根据三角形的中位线定理，及矩形的性质，可得四边形EBHF为平行四边形，即EF∥BH，再由线面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）由已知中面PBC⊥矩形ABCD所在平面，△PBC是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是正方形，由等边三角形三线合一的性质可得BH⊥PC，由正方形的性质及面面垂直的性质可得DC⊥BH，由线面垂直的判定定理可得BH⊥平面PCD，结合（1）中结论及线面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面PCD，再由线面垂直的性质得到EF⊥CG；
（3）由E、F分别为AB、PD的中点，我们可以分析出三棱锥C-BEF与棱锥P-ABCD高及底面面积的关系，求出棱锥P-ABCD的体积后，即可得到三棱锥C-BEF的体积．
解答：证明：（1）取PC的中点H，连接FH，EF，BH
∵E、F分别为AB、PD的中点
∴FH∥CD且FH=CD，
又由ABCD为矩形
∴FH∥AB且FH=AB，
即四边形EBHF为平行四边形
即EF∥BH
又∵EF?平面PBC，BH?平面PBC
∴EF∥平面PBC；
（2）∵△PBC是边长为2的等边三角形，
∴BH⊥PC，
又∵四边形EBHF为平行四边形
∴DC⊥BC
又由面PBC⊥矩形ABCD所在平面，
∴DC⊥面PBC
又∵BH?面PBC
∴DC⊥BH
又由PC∩BH=H
∴BH⊥平面PCD
由（1）得EF∥BH
∴EF⊥平面PCD
由CG?平面PCD
∴EF⊥CG；
（3）过P点作PI⊥BC，易得PI即为棱锥P-ABCD的高，且PI=
则V_P-ABCD==
又∵E、F分别为AB、PD的中点；
∴三棱锥C-BEF的高是棱锥P-ABCD的高的一半，
三棱锥C-BEF的底面面积是棱锥P-ABCD的底面面积的四分之一，
∴
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，棱锥的体积，其中根据已知条件，添加适当的辅助线，选择恰当的判定方法，是解答此类问题的关键．