Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1中心为O，右顶点为M，过定点D（t，0）（t≠±2）作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若直线l与x轴垂直，求三角形OAB面积的最大值；
（2）若t=

6

5

，直线l的斜率为1，求证：∠AMB=90°；
（3）直线AM和BM的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先把x=t代入

x2

4

+y2=1可得：y=±

1

2

4-t2

从而得出面积的函数表达式，最后利用基本不等式求其最大值即可；
（2）联立

y=x- 6 5 x2 4 +y2=1

得125x²-240x+44=0，然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．
（3）先分类讨论：①当直线l与x轴不垂直时，可设直线方程为：y=k（x-t），由

y=k(x-t) x2 4 +y2=1

消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0，然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．
②当直线l与x轴垂直时，利用同样的方法求解即可．

解答：解：设直线l与椭圆的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）把x=t代入

x2

4

+y2=1可得：y=±

1

2

4-t2

，（2分）
则S△OAB=|OD|•|AD|=

1

2

•|t|•

4-t2

≤1，当且仅当t=±

2

时取等号（4分）
（2）由

y=x- 6 5 x2 4 +y2=1

得125x²-240x+44=0，x1x2=

44

125

，x1+x2=

48

25

（6分）
所以kAMkBM=

y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

(x1- 6 5 )(x2- 6 5 )

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2- 6 5 (x1+x2)+ 36 25

x1x2-2(x1+x2)+4

=

44 125 - 6 5 • 48 25 + 36 25

44 125 -2• 48 5 +4

=

-64

64

=-1?∠AMB=90°（9分）
（3）直线AM和BM的斜率的乘积是一个非零常数．（11分）
当直线l与x轴不垂直时，可设直线方程为：y=k（x-t），
由

y=k(x-t) x2 4 +y2=1

消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0
则

△＞0 x1+x2= 8k2t 4k2+1 x1x2= 4k2t2-4 4k2+1

①又

y1=k(x1-t) y2=k(x2-t)

②（13分）
所以kAMkBM=

y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

k2(x1x2-t(x1+x2)+t2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

t+2

4(t-2)

(常数)（15分）
当直线l与x轴垂直时，由

x=t x2 4 +y2=1

得两交点A(t，

1

2

4-t2

)，B(t，-

1

2

4-t2

)，
显然kAMkBM=

t+2

4(t-2)

．
所以直线AM和BM的斜率的乘积是一个非零常数．（16分）

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．