Question

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件知a²=2b²，再由直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切，知=b，由此可求出椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）由MP=MF₂，知动点M到定直线l₁：x=-2的距离等于它到定点F₂（2，0）的距离，由此可求出点M的轨迹C₂的方程．
（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则直线AC的方程为y=k（x-2），联立及y=k（x-2）得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．
解答：解：（Ⅰ）∵e=，∴e²=，∴a²=2b²
∵直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切
∴=b，∴b=2，b²=4，∴a²=8，
∴椭圆C₁的方程是（3分）
（Ⅱ）∵MP=MF₂，
∴动点M到定直线l₁：x=-2的距离等于它到定点F₂（2，0）的距离，
∴动点M的轨迹C是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C₂的方程为y²=8x（6分）

（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则直线AC的方程为y=k（x-2）
联立及y=k（x-2）得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0
所以x₁+x₂=，x₁x₂=
|AC|===．（8分）
由于直线BD的斜率为-，用-代换上式中的k可得|BD|=
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积为S=|AC|•|BD|=..（10分）
由（1+2k²）（k²+2）≤[]²=[]²
所以S≥，当1+2k²=k²+2时，即k=±1时取等号．（11分）
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为（12分）
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．