Question

在体积为4

3

π的球的表面上有A、B、C三点，AB=1，BC=

2

，A、C两点的球面距离为

3

3

π，则∠ABC=

π

2

．

Answer 1

分析：根据球的体积，首先就要先计算出球的半径．再根据A、C两点的球面距离，可求得弧AC所对的圆心角的度数，进而根据余弦定理可得线段AC的长度为

3

，所以△ABC为直角三角形

解答：解析：设球的半径为R，则V=4

3

π=

4π

3

R3，
∴R=

3

．
设A、C两点对球心张角为θ，则

AC

=Rθ=

3

θ=

3

3

π，
∴θ=

π

3

，
∴由余弦定理可得：AC=

3

，
又∵AB=1，BC=

2

∴由AC²=AB²+BC²得
∴∠ABC=

π

2

故答案为：

π

2

点评：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离，其中根据球体积求出球半径进而求出A、C两点对球心张角是解答的关键．