Question

建造一个容积为8m³深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²
（1）求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）判断（1）中函数在（0，2]和[2，+∞）上的单调性并用定义法加以证明；
（3）如何设计水池尺寸，才能使总造价最低．

Answer 1

分析：（1）设总造价为y元，一边长为xm，则函数y=底面积×池底造价+侧面积×池壁造价，代入数据计算即可，定义域是底边长的取值，为（0，+∞）；
（2）由（1）知函数y=(

4

x

+x)×320+480，用定义证明其单调性如下：【步骤一：取值】即任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂【步骤二：作差，整理】即y₁-y₂=(

4

x1

+x1)×320+480-(

4

x2

+x2)×320-480=320

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，【步骤三：比较，得结论】①当0＜x₁＜x₂≤2时，y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂（函数单调递减）；②当2≤x₁＜x₂时，y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂（函数单调递增）；
（3）由（2）知，x=2时，函数有最小值，计算f（2）即可．

解答：解：（1）设总造价为y元，一边长为xm，则y=4×120+2(

4

x

×2+x×2)×80，
即：y=(

4

x

+x)×320+480定义域为（0，+∞）；
（2）函数y=(

4

x

+x)×320+480在（0，2]上为减函数，在[2，+∞）上为增函数；
用定义证明如下：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
则y₁-y₂=(

4

x1

+x1)×320+480-(

4

x2

+x2)×320-480
=320(

4

x1

-

4

x2

+x1-x2)
=320

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
①当0＜x₁＜x₂≤2时，x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂-4＜0；
∴y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂；
∴该函数在（0，2]上单调递减；
②当2≤x₁＜x₂时，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即x₁x₂-4＞0；
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂，
∴该函数在[2，+∞）上单调递增；
（3）由（2）知当x=2时，函数有最小值y_min=f（2）=1760（元）
即：当水池的长与宽都为2m时，总造价最低，为1760元．

点评：本题考查了用定义证明函数单调性以及利用单调性判定函数的最值问题，用定义证明函数的单调性时，要严格按照步骤解答，以免出错．