Question

定义g（x）表示如下函数：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

 (m∈Z)，则g（x）=m．给出下列关于函数f（x）=|x-g（x）|的四个命题：
（1）函数y=f（x）的定义域是R，值域是[0，

1

2

]；
（2）函数y=f（x）是R上的奇函数；
（3）函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；
（4）函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

(k∈Z)对称．
其中正确命题的序号是

（1）（3）（4）

．（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：由已知若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

 (m∈Z)，则g（x）=m，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数，画出函数的图象进行研究即可得到正确结论．

解答：解：由题意x-g（x）=x-m，f（x）=|x-g（x）|=|x-m|，
m=0时，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1时，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2时，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由图象可知：
（1）y=f（x）的定义域为R，值域为[0，

1

2

]，正确；
（2）函数y=f（x）是R上的偶函数，故不正确；
（3）y=f（x）是周期函数，最小正周期为1，正确；
（4）y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称，正确；
故答案为：（1）（3）（4）

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及周期性、对称性、奇偶性等性质，也是一个新定义问题，可结合图象进行研究，体现数形结合思想，属于中档题．