【题目】已知函数
(1)若函数在x=1时取得极值,求实数a的值;
(2)当0<a<1时,求零点的个数.
【答案】(1)1;(2)两个
【解析】
(1) 函数在x=1时取得极值,得,解得,时,,求单调区间,验证在x=1时取得极值 (2),由,得减区间为,增区间为,其极小值为,,函数在上有且仅有一个零点,根据,,
令,得,又因为,所以,所以当时,,根据零点存在定理,函数在上有且仅有一个零点.
解:(1)定义域为,,
由已知,得,解得,
当时,,
所以,
所以减区间为,增区间为,
所以函数在时取得极小值,其极小值为,符合题意,所以
(2)令,由,得
所以,,
所以减区间为,增区间为,
所以函数在时取得极小值,其极小值为,
因为,所以,,
所以,所以,
因为,
根据零点存在定理,函数在上有且仅有一个零点,
因为,,
令,得,又因为,所以,
所以当时,,
根据零点存在定理,函数在上有且仅有一个零点,
所以,当时,有两个零点.
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【题目】已知椭圆过点,且其离心率为,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线:(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.
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【题目】2018年全国数学奥赛试行改革:在高二一年中举行5次全区竞赛,学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训,不用参加其余的竞赛,而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定:若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名,则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是,每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.
(1)求该学生进入省队的概率.
(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为,求的分布列及的数学期望.
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【题目】将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的,得曲线.
(1)求出的参数方程;
(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设是曲线上的一个动点,求点到直线距离的最小值.
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【题目】三角形面积为,,,为三角形三边长,为三角形内切圆半径,利用类比推理,可以得出四面体的体积为( )
A.
B.
C. (为四面体的高)
D. (其中,,,分别为四面体四个面的面积,为四面体内切球的半径,设四面体的内切球的球心为,则球心到四个面的距离都是)
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【题目】某校高三年级学生会主席团有共有名同学组成,其中有名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,已知抛物线:和⊙ ,过抛线上一点 作两条直线与⊙相切于A、B两点,分别交抛物线于E、F两点,圆心点到抛物线准线的距离为 .
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当 的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率;
(Ⅲ)若直线AB在轴上的截距为,求的最小值.
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【题目】设是正整数.在一个十进制位数的各位数字中,若含有数字8,则在每个数字8的前一位数字就不能是数字3(即不能出现38字样).试求出所有这样的位数的个数.
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