Question

13．已知函数f（x）=x²+alnx，若对任意两个不等式的正数x₁，x₂（x₁＞x₂），都有f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂）成立，则实数a的取值范围是a≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先确定g（x）=f（x）-2x=x²+alnx-2x在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得a≥-2x²+2x恒成立，即a≥（-2x²+2x）_max，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂），
∴f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂，
即g（x）=f（x）-2x=x²+alnx-2x在（0，+∞）上单增，
即g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$恒成立，
也就是a≥-2x²+2x恒成立，∴a≥（-2x²+2x）_max，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
故答案为：a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定g（x）=f（x）-2x=x²+alnx-2x在（0，+∞）上单增是关键．