Question

12．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，$AC=2\sqrt{3}$，$A{A_1}=\sqrt{3}$，AB=2，点D在棱B₁C₁上，且B₁C₁=4B₁D．
（Ⅰ）求证：BD⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角B-A₁D-B₁的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，求出相关点的坐标，求出$\overrightarrow{BD}=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（0，2\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$．通过数量积为0，证明 BD⊥A₁C．
（Ⅱ）求出平面A₁DB的一个法向量，平面A₁DB₁的一个法向量，利用斜率的数量积求解二面角B-A₁D-B₁的平面角即可．

解答 （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为 ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，
所以 AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．
又 AB⊥AC，
所以 AB，AC，AA₁两两互相垂直．（1分）
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．（2分）
则 B（2，0，0），$C（0，2\sqrt{3}，0）$，${A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，${B_1}（2，0，\sqrt{3}）$，${C_1}（0，2\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．
由 $\overrightarrow{{B_1}D}=\frac{1}{4}\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，得$D（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}）$．（3分）
所以 $\overrightarrow{BD}=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（0，2\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$．
因为 $\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{{A_1}C}=3-3=0$，（4分）
所以 BD⊥A₁C．（5分）
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{BD}=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（2，0，-\sqrt{3}）$．
设平面A₁DB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0.\end{array}\right.$（7分）
所以 $\left\{\begin{array}{l}2{x_1}-\sqrt{3}{z_1}=0\\-\frac{1}{2}{x_1}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0.\end{array}\right.$取z₁=1，得$\overrightarrow{m}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}，1）$．（9分）
又平面A₁DB₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），（10分）
所以 $cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}|=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}+1}}=\frac{1}{2}$，（12分）
因为二面角B-A₁D-B₁的平面角是锐角，
所以二面角B-A₁D-B₁的大小是60°．（13分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与直线垂直的证明，考查空间想象能力以及计算能力．