Question

13．（1）$（\sqrt{x}+\frac{1}{2x}{）^n}$的展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，求展开式的常数项．
（2）（1-2x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵（x∈R）
①求a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值．      
②求$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+…+\frac{{{a_{2015}}}}{{{2^{2015}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项；
（2）由（1-2x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵，令x=1，可求出a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值；令x=0和$\frac{1}{2}$，可求出a₀与$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2015}}{{2}^{2015}}$的值．

解答 解：（1）∵$（\sqrt{x}+\frac{1}{2x}{）^n}$的展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，
∴展开式有10项，n=9；
∴展开式的通项为
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{9-r}$•${（\frac{1}{2x}）}^{r}$
=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•$\frac{9-3r}{2}$；
令$\frac{9-3r}{2}$=0，
解得r=3；
∴展开式中常数项为${C}_{9}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{21}{2}$；
（2）①∵（1-2x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵（x∈R），
∴令x=1，得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=（1-2）²⁰¹⁵=-1；
②令x=0，得a₀=（1-0）²⁰¹⁵=1；
令x=$\frac{1}{2}$，得a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2015}}{{2}^{2015}}$=（1-1）²=0；
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2015}}{{2}^{2015}}$=-a₀=-1．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了用特殊值求二项展开式的系数的应用问题，是综合性题目．