Question

若函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2^x+1
（1）求f（0）的值．
（2）当x＜0时，函数f（x）的解析式．
（3）作出函数f（x）的图象．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的定义，f（x）=-f（-x），令x=0可得f（0）的值．
（2）当x＜0时，-x＞0，结合当x＞0时，f（x）=2^x+1，及奇函数的定义，可得当x＜0时，函数f（x）的解析式．
（3）由已知及（2）中函数的解析式，结合指数函数的图象，可得函数f（x）的图象．

解答：解：（1）∵函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x），
令x=0，则f（0）=-f（0），
即f（0）=0
（2）当x＜0时，-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=2^x+1，
∴f（-x）=2^-x+1=-f（x），
∴f（x）=-2^-x-1=-（

1

2

）^x-1
（3）∵x＞0时，f（x）=2^x+1，
x=0时，f（0）=0
x＞0时，f（x）=-（

1

2

）^x-1
故函数f（x）的图象如图所示：

点评：本题考查的知识点是函数图象的作法，函数解析式的求法，函数的值，函数奇偶性的定义，熟练掌握函数奇偶性的定义及性质是解答本题的关键．