Question

【题目】已知函数，其中是自然数的底数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；

（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）{－3，1}

【解析】

试题（1）利用，将不等式转化为二次不等式进行求解；（2）根据在区间D上递增等价于在区间D上恒成立；（3）构造函数，利用零点存在定理进行求解．

试题解析：（Ⅰ）∵ex＞0，∴当f（x）＞0时即ax2+x＞0，

又∵a＜0，∴原不等式可化为x（x+）＜0，∴f（x）＞0的解集为（0，-）；

（Ⅱ）∵f（x）=（ax2+x）ex，∴f，（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，

①当a=0时，f，（x）=（x+1）ex，∵在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取“=”，

∴a=0满足条件；

②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，

∵△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，

∴g（x）=0有两个不等的实根x1、x2，

不妨设x1＞x2，因此f（x）有极大值和极小值；

若a＞0，∵g（-1）g（0）=-a＜0，∴f（x）在（-1，1）内有极值点，∴f（x）在[-1，1]上不单调；

若a＜0，则x1＞0＞x2，∵g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]单调递增，由g（0）=1＞0，

∴即，∴-≤a≤0；综上可知，a的取值范围是[-，0]；

（Ⅲ）当a=0时，方程f（x）=x+2为xex=x+2，

∵ex＞0，∴x=0不是原方程的解，

∴原方程可化为ex--1=0；

令h（x）=ex--1，∵h，（x）=ex+＞0在x∈（-∞0）∪（0+∞）时恒成立，

∴h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上是单调增函数；又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，

h（-3）=e-3＜0，h（-2）=e-2＞0，

∴方程f（x）=x+2有且只有两个实根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，

所以，整数k的所有值为{-3，1}．