Question

（理科）若函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与直线y=kx仅有三个公共点，且其横坐标分别为α，β，γ（α＜β＜γ），给出下列结论：
①k=-cosγ；
②γ∈（π，

3π

2

）；
③γ=tanγ；  
④sin2γ=

2γ

1+γ2

，
其中正确的结论是（　　）

A．①②③

B．③④

C．②④

D．①②③④

Answer 1

分析：可作出函数f（x）=|sinx|与直线y=kx仅有三个公共点的图象，利用导数与斜率的坐标公式可分别求得k，进一步分析即可得到答案．

解答：解：函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx仅有三个公共点，其图象如下（k＞0的情形）：

由图可知：
由图知，π＜γ＜

3π

2

所以此时y=-sinx，由于直线在此段上与y=-sinx相切，切点处的导数为=-cosγ，故有k=-cosγ，①正确；
由图知，

π

2

＜β＜π＜γ＜

3π

2

，故②正确，
∵直线y=kx与 y=-sinx 相切，
∴k=

-sinγ

γ

，同时，由 y′=-cosx，
∴-

sinγ

γ

=-cosγ，所以 γ=tanγ，故③正确；
∴由万能公式可得sin2γ=

2tanγ

1+tan2γ

=

2γ

1+γ2

，故④正确．
故选D．

点评：本题考查考查正弦函数的图象，考查导数的几何意义与万能公式，属于难题