Question

（2013•德州一模）椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点到直线x-3y=0的距离为

10

5

，离心率为

2 5

5

，抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在学常数λ，使

1

|AB|

+

λ

|CD|

为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点到直线的距离公式列式求出c的值，结合土偶眼离心率求出a的值，再由抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合即可求得椭圆方程和抛物线方程；
（2）依次射出A，B，C，D四点的坐标，设出直线l的方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系分别写出A，B两点横坐标的和与积，写出C，D两点横坐标的和与积，利用弦长公式求出AB和CD的长度，代入

1

|AB|

+

λ

|CD|

后可求出使

1

|AB|

+

λ

|CD|

为常数的λ的值．

解答：解：（1）设E、G的公共焦点为F（c，0），由题意得

c

1+32

=

10

5

，

c

a

=

2 5

5

．
联立解得c=2，a=

5

，b=1．
所以椭圆E：

x2

5

+y2=1，抛物线G：y²=8x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
直线l的方程为y=k（x-2），与椭圆E的方程联立

x2 5 +y2=1 y=k(x-2)

，得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
△=400k⁴-20（5k²+1）（4k²-1）=20（k²+1）＞0．
x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 5 (k2+1)

1+5k2

．
直线l的方程为y=k（x-2），
与抛物线G的方程联立

y2=8x y=k(x-2)

，得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
x3+x4=

4k2+8

k

．
|CD|=x3+x4+4=

8(k2+1)

k2

．

1

|AB|

+

λ

|CD|

=

1+5k2

2 5 (k2+1)

+

λk2

8 5 (k2+1)

=

(20+ 5 λ)k2+4

8 5 (k2+1)

．
要使

1

|AB|

+

λ

|CD|

为常数，则20+

5

λ=4，得λ=-

16 5

5

．
故存在λ=-

16 5

5

，使

1

|AB|

+

λ

|CD|

为常数．

点评：本题主要考查了曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了设而不求的解题思想方法，考查了弦长公式的用法，直线与圆锥曲线问题的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．