Question

设命题p：?x∈R，x²+2ax-a=0．命题q：?x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：?x∈R，x²+2ax-a=0，∴命题p为真时a的范围为a≥0或a≤-1．?x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1，∴命题q为真时a的范围为a≥2或a≤-2．∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题∴p与q是一个为真一个为假．所以a∈（-2，-1]∪[0，2）

解答：解：∵?x∈R，x²+2ax-a=0．
∴方程x²+2ax-a=0有解
∴△=4a²+4a≥0即a≥0或a≤-1
∴命题p为真时a的范围为a≥0或a≤-1
∵?x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1
∴（a+2）x²+4x+a-1≥0在R上恒城立
∴显然a=-2时不恒成立，因此有

a+2＞0 △=16-4(a+2)(a-1)≤0

，
解得a≥2，
∴命题q为真时a的范围为a≥2．
又∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题
∴p与q是一个为真一个为假
所以a∈（-∞，-1]∪[0，2）
所以实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[0，2）．

点评：解决此类问题的关键是先求出命题为真时实数a的范围，并求出命题为假时a的范围，然后根据复合命题真假作出判断．