Question

过椭圆

x2

16

+

y2

4

=1内一点M（1，1）的弦AB．
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是直线的一般式方程及动点轨迹方程的求法，（1）由于弦AB过点M（1，1），故我们可设出直线AB的点斜式方程，联立直线与圆的方程后，根据韦达定理（根与系数的关系），我们结合点M恰为弦AB的中点，可得到一个关于斜率k的方程，解方程求出k值后，代入整理即可得到直线AB的方程．（2）设AB弦的中点为P，则由A，B，M，P四点共线，易得他们确定直线的斜率相等，由此可构造一个关于x，y的关系式，整理后即可得到过点M的弦的中点的轨迹方程．

解答：解：（1）设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为y-1=k（x-1）．

y-1=k(x-1) x2 16 + y2 4 =1

得x²+4（kx+1-k）²=16
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4（1-k²）-16=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=

8k(k-1)

1+4k2

，
而M(1，1)是AB中点，则

x1+x2

2

=1．
综上，得

8k(k-1)

1+4k2

=2，解得k=-

1

4

．
∴直线AB的方程为y-1=-

1

4

(x-1)，即x+4y-5=0．
（2）设弦AB的中点为P（x，y）
∵A，B，M，P四点共线，
∴k_AB=k_MP
即(-

1

4

)•

x1+x2

y1+y2

=

y-1

x-1

，而x1+x2=2x，y1+y2=2y
∴(-

1

4

)

2x

2y

=

y-1

x-1

，整理，得轨迹方程为x2+4y2-x-4y=0．

点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．