Question

记关于x的不等式

x-a

x+1

＜0的解集为P，不等式（1+x）（1-|x|）≥0的解集为Q
（1）若a=2，求集合P，Q和P∩Q；
（2）若P∪Q=Q，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入

x-a

x+1

＜0，得

x-2

x+1

＜0，根据积商符号法则即可求解该不等式求出集合P，再解含绝对值的不等式得出Q，最后求出它们的交集即可；
（2）利用（1）中结论，根据P∪Q=Q得到P⊆Q，列出关于a的不等式，解此不等式即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）a=2代入

x-a

x+1

＜0，得

x-2

x+1

＜0，
所以P={x|-1＜x＜2}（4分），
不等式（1+x）（1-|x|）≥0?

x≥0 (1+x)(1-x)≥0

或

x＜0 (1+x)(1+x)≥0

解得：0≤x≤1或x＜0．
∴Q={x|x≤1}；
P∩Q={x|-1＜x≤1}；
（2）Q={x|x≤1}（6分）
①当a＞-1时，∴P={x|-1＜x＜a}（8分）
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q（10分）
所以-1＜a≤1，
②当a=-1时，∴P=∅，
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q
所以a=-1，
③当a＞-1时，∴P={x|a＜x＜-1}（14分）
∴P⊆Q，有P∪Q=Q，
∴所以a＜-1，
综上所述，a的取值范围a≤1．（16分）

点评：此题是个中档题．考查不等式解法和集合交集与子集之间的转化，同时考查分类讨论思想、学生灵活应用知识分析解决问题能力和计算能力．