【题目】已知函数,其中实数为常数,为自然对数的底数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,解关于的不等式;
(3)当时,如果函数不存在极值点,求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ;单调递减区间为 .(2) (3)
【解析】试题分析:把代入由于对数的真数为正数,函数定义域为,所以函数化为,求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间;代入,,分和两种情况解不等式;当时,,求导,函数不存在极值点,只需恒成立,根据这个要求得出的范围.
试题解析:
(1)时,,
令,解得,
且时,,单调递减;
时,,单调递增.
所以单调递增区间为;单调递减区间为.
(2)时,.
当时,原不等式可化为.
记,则,
当时,,
所以在单调递增,又,故不等式解为;
当时,原不等式可化为,显然不成立,
综上,原不等式的解集为.
(3)时,,
,记,
因为时,,
所以不存在极值点时恒成立.
由,解得
且时,,单调递减;
时,,单调递增.
所以,解得.
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【题目】袋子里有编号为的五个球,某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲,其乘积只告诉乙,让甲、乙分别推断这两个球的编号.
甲说:“我无法确定.”
乙说:“我也无法确定.”
甲听完乙的回答以后,甲又说:“我可以确定了.”
根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中
A. 一定有3号球 B. 一定没有3号球 C. 可能有5号球 D. 可能有6号球
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【题目】先阅读下列结论的证法,再解决后面的问题:已知a1 , a2∈R,a1+a2=1,求证a12+a22≥ .
【证明】构造函数f(x)=(x﹣a1)2+(x﹣a2)2
则f(x)=2x2﹣2(a1+a2)x+a12+a22
=2x2﹣2x+a12+a22
因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0.
所以△=4﹣8(a12+a22)≤0,从而得a12+a22≥ ,
(1)若a1 , a2 , …,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)设 π<x< π,且方程f(x)=m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围和这两个根的和.
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【题目】已知y=f(x)是R上的可导函数,对于任意的正实数t,都有函数g(x)=f(x+t)﹣f(x)在其定义域内为减函数,则函数y=f(x)的图象可能为如图中( )
A.
B.
C.
D.
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