已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)+2x=x2+b在[,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;
(3)证明: (n∈N,n≥2).参考数据:ln2≈0.6931.
(1)0(2)+ln2≤b≤2
(3)见解析
(1)f '(x)=1+,由题意,得f '(1)=0 ?? a=0 ……2'
(2)由(1)知f(x)=x-lnx
∴f(x)+2x=x2+b ó x-lnx+2x=x2+b ó x2-3x+lnx+b=0
设g(x)=x2-3x+lnx+b(x>0)
则g'(x)=2x-3+= ……4'
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表
x | (0,) | (,1) | 1 | (1,2) | 2 | |
g'(x) | + | 0 | - | 0 | + | |
G(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ | b-2+ln2 |
……6'
当x=1时,g(x)最小值=g(1)=b-2,g()=b--ln2,g(2)=b-2+ln2
∵方程f(x)+2x=x2+b在[,2]上恰有两个不相等的实数根
由 ??
?? +ln2≤b≤2 ……9'
(3)∵k-f(k)=lnk
∴nk=2
ó(n∈N,n≥2) ……10’
设Φ(x)=lnx-(x2-1)
则Φ'(x)=-=
当x≥2时,Φ'(x)<0 ?? 函数Φ(x)在[2,+∞)上是减函数,
∴Φ(x)≤Φ(2)=ln2-<0 ?? lnx<(x2-1) ……12'
∴当x≥2时, ……13'
∴
>2[(1-)+(-)+(-)+(-)+……()]
=2(1+-)
=.
∴原不等式成立. ……14'
科目:高中数学 来源: 题型:
已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.
(1)求实数m的值;
(2)作出函数f(x)的图像;
(3)根据图像指出f(x)的单调递减区间;
(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集;
(5)求当x∈[1,5)时函数的值域.
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科目:高中数学 来源:新课标高三数学对数与对数函数、反比例函数与幂函数专项训练(河北) 题型:解答题
已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),其中x∈[0,15],a>0,且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)-g(x)=0的一个解,求t的值;
(2)当0<a<1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求t的取值范围;
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科目:高中数学 来源:2014届江西省高二下学期第二次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.
(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);
(2)若任意x∈R,f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2013届新课标高三配套第四次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年湖南省、岳阳县一中高三11月联考理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)(第一问8分,第二问5分)
已知函数f(x)=2lnx,g(x)=ax2+3x.
(1)设直线x=1与曲线y=f(x)和y=g(x)分别相交于点P、Q,且曲线y=f(x)和y=g(x)在点P、Q处的切线平行,若方程f(x2+1)+g(x)=3x+k有四个不同的实根,求实数k的取值范围;
(2)设函数F(x)满足F(x)+x[f′(x)-g′(x)]=-3x2-(a+6)x+1.其中f′(x),g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数;试问是否存在实数a,使得当x∈(0,1]时,F(x)取得最大值,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
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