Question

（本小题满分13分）
专家通过研究学生的学习行为，发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间(分钟)的变化规律(越大，表明学生注意力越大)，经过试验分析得知：
（Ⅰ）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？
（Ⅱ）讲课开始后5分钟时与讲课开始后25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？
（Ⅲ）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目？

Answer 1

(1) 坚持10分钟(2) 学生的注意力比讲课开始后5分钟时更集中(3) 经过适当安排,老师能在学生达到所需的状态下讲完这道题目

试题分析：解：（Ⅰ）当时, 是增函数,
且
当时, 是减函数，且
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟.      ………………………5分
（Ⅱ）,,所以讲课开始后25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5分钟时更集中.                                          ……………8分
（Ⅲ） 当时,令 得.
当时令
,得
所以学生的注意力在180以上,所持续的时间
所以经过适当安排,老师能在学生达到所需的状态下讲完这道题目.      …………………13分
点评：构造二次函数模型，函数解析式求解是关键，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．