Question

设函数f(x)=

x2-1

x2

的定义域为E，值域为F．
（1）若E={1，2}，判断实数λ=lg²2+lg2lg5+lg5-16-

1

2

与集合F的关系；
（2）若E={1，2，a}，F={0，

3

4

}，求实数a的值．
（3）若E=[

1

m

，

1

n

]，F=[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）的解析式，将x∈{1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案；
（2）分别令f（a）=0，即

a2-1

a2

=0，令f（a）=

3

4

，即可求出实数a的值．
（3）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，x∈[

1

m

，

1

n

]，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值．

解答：解：（1）∵f(x)=

x2-1

x2

，∴当x=1时，f（x）=0；当x=2时，f（x）=

3

4

，∴F={0，

3

4

}．
∵λ=lg²2+lg2lg5+lg5-16 -

1

2

=lg2（lg2+lg5）+lg5-

1

4

=lg2+lg5-

1

4

=lg10-

1

4

=

3

4

．
∴λ∈F．…（5分）
（2）令f（a）=0，即

a2-1

a2

=0，a=±1，取a=-1；
令f（a）=

3

4

，即

a2-1

a2

=

3

4

，a=±2，取a=-2，
故a=-1或-2．…（9分）
（3）∵f(x)=

x2-1

x2

是偶函数，且f'（x）=

2

x3

＞0，
则函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
∵x≠0，∴由题意可知：

1

m

＜

1

n

＜0或0＜

1

m

＜

1

n

．
若

1

m

＜

1

n

＜0，则有

f( 1 m )=2-3n f( 1 n )=2-3m

，即

1-m2=2-3n 1-n2=2-3m

，
整理得m²+3m+10=0，此时方程组无解；
若0＜

1

m

＜

1

n

，则有

f( 1 m )=2-3m f( 1 n )=2-3n

，即

1-m2=2-3m 1-n2=2-3n

，
∴m，n为方程x²-3x+1=0，的两个根．∵0＜

1

m

＜

1

n

，∴m＞n＞0，
∴m=

3+ 5

2

，n=

3- 5

2

．…（16分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，考查运算求解能力，考查方程思想，化归与转化思想．属于基础题．