Question

用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中数字1，2相邻．
（Ⅰ）求这样的五位数的个数；
（Ⅱ）求这样的五位偶数的个数．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知本题是一个分类计数问题，
这样的五位数要分成两种情况，
①若1，2在开头，则可组成2A₃³=12个五位数（2分）
②若1，2不在开头，则3或4在开头，所以共可组成A₂¹A₃³A₂²=24个五位数（4分）
∴共可以组成36个五位数（5分）
（Ⅱ）组成偶数可以分成三种情况，
①若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，
共可以组成2•A₃³=12个五位数（7分）
②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2•A₂²=4个五位数（9分）
③若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，
且0不是首位数字，则有2•（2•A₂²）=8个五位数（11分）
∴全部五位偶数共有24个（12分）
分析：（Ⅰ）本题是一个分类计数问题，这样的五位数要分成两种情况，若1，2在开头，则可组成2A₃³=12个五位数，若1，2不在开头，则3或4在开头，所以共可组成A₂¹A₃³A₂²，相加得到结果．
（Ⅱ）组成偶数可以分成三种情况，①若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，③若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，写出组合数，相加得到结果．
点评：本题考查排列组合的实际应用，本题是一个数字问题，特别要注意包含数字0参与的组成偶数的问题，注意要分类来解，注意0在末位是偶数，0还不能排在首位．