Question

20．等边三角形ABC的边长为1，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AB}=\overrightarrow c$，那么$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\overrightarrow b•\overrightarrow c+\overrightarrow{c•}\overrightarrow a$等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 3
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根据向量的加法运算得出$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$，化简得出$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\overrightarrow b•\overrightarrow c+\overrightarrow{c•}\overrightarrow a$=（$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$$•\overrightarrow{a}$，求出数量积即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AB}=\overrightarrow c$，
∴$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$，
∵等边三角形ABC的边长为1，
∴|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{c}$$•\overrightarrow{a}$=1×1×cos120°=-$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\overrightarrow b•\overrightarrow c+\overrightarrow{c•}\overrightarrow a$=（$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$$•\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$²$-\frac{1}{2}$=$1-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考察了平面向量的几何表示，运算，数量积的运用，几何图形的应用，属于基础题．