Question

对任意函数f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下:

①输入数据x₀∈D，经数列发生器输出x₁=f(x₀)；

②若x₁D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f(x₁)，并依此规律继续下去.

现定义

（1）若输入x₀=，则由数列发生器产生数列{x_n}，请写出{x_n}的所有项；

（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x₀的值；

（3）若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n}，满足对任意正整数n均有x_n＜x_n+1；求x₀的取值范围.

Answer 1

（1）数列{x_n}只有三项，

（2）当x₀=1时，x_n=1，当x₀=2时，x_n=2（n∈N^*）,（3）x₁∈(1,2),由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2)

解析:

（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)

∴数列{x_n}只有三项，

（2）∵,即x²–3x+2=0

∴x=1或x=2，即x₀=1或2时

故当x₀=1时，x_n=1，当x₀=2时，x_n=2（n∈N^*）

（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2

要使x₁＜x₂，则x₂＜–1或1＜x₁＜2

对于函数

若x₁＜–1，则x₂=f(x₁)＞4，x₃=f(x₂)＜x₂

若1＜x₁＜2时，x₂=f(x₁)＞x₁且1＜x₂＜2

依次类推可得数列{x_n}的所有项均满足

x_n+1＞x_n（n∈N^*)

综上所述，x₁∈(1,2),由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2).