【题目】已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量=(a,b),
=(sin B,sin A),
=(b-2,a-2).
(1)若∥
,求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若⊥
,边长c=2,∠C=
,求△ABC的面积.
【答案】(1)见解析.
(2) .
【解析】分析:(1)根据正弦定理和向量平行的条件,问题得以证明;
(2)根据向量垂直则数量积等于0,利用余弦定理,求出ab的积,然后利用三角形的面积公式,即可解得.
详解:
(1)证明 ∵∥
,∴asin A=bsin B,
即a·=b·
(其中R是△ABC外接圆的半径).
∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.
(2)解 由⊥
得
·
=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,
∴a+b=ab.
又c=2,∠C=,∴4=a2+b2-2abcos
,即有
4=(a+b)2-3ab.
∴(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(ab=-1舍去).
因此S△ABC=absin C=
×4×
=
.
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【题目】定义域为的函数
满足:
,且对于任意实数
,
恒有
,当
时,
.
(1)求的值,并证明当
时,
;
(2)判断函数在
上的单调性并加以证明;
(3)若不等式对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆 经过点
,离心率为
,左、右焦点分别为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线 与椭圆交于A,B两点,与以
为直径的圆交于C,D两点,求
的值.
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【题目】已知数列{an}(n∈N*)满足:a1=1,an+1-sin2θ·an=cos 2θ·cos2nθ,其中θ∈.
(1)当θ=时,求数列{an}的通项公式;
(2)在(1)的条件下,若数列{bn}满足bn=sin+cos
(n∈N*,n≥2),且b1=1,求证:对任意的n∈N*,1≤bn≤
恒成立.
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【题目】已知正项数列的前n项和为
,且满足
,数列
满足
,
,且.
.
(1)求数列与
的通项公式;
(2)求数列的前
项的
;
(3)将数列与
的项相间排列构成新数列
,设新数列
的前
项和为
,若对任意正整数n都有
,求实数
的取值范围.
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【题目】已知圆 ,圆心为
,定点
,
为圆
上一点,线段
上一点
满足
,直线
上一点
,满足
.
(Ⅰ)求点 的轨迹
的方程;
(Ⅱ) 为坐标原点,
是以
为直径的圆,直线
与
相切,并与轨迹
交于不同的两点
.当
且满足
时,求
面积
的取值范围.
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【题目】已知抛物线 ,直线
与
交于
,
两点,且
,其中
为坐标原点.
(1)求抛物线 的方程;
(2)已知点 的坐标为(-3,0),记直线
、
的斜率分别为
,
,证明:
为定值.
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