Question

已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在坐标原点O，C₁和C₂有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当C₂的准线与C₁右准线间的距离为15时，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）设点F且斜率为1的直线l交C₁于P，Q两点，交C₂于M，N两点．当时，求|MN|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设C₁、C₂的标准方程，进而可得到a=2c，再求出C₁的右准线方程、C₂的准线方程，根据C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列求出a，b，c的值，得到答案．
（2）先表示出直线l的方程，然后设M、N、P、Q四点的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程进而得到两根之和、两根之积再由可求出c的值，最后联立直线和抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，同样可得到两根之和根据是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c可最后答案．
解答：解：（Ⅰ）设C₁：（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C₂：y²=4cx．
由条件知，得a=2c．C₁的右准线方程为，即x=4c．C₂的准线方程为x=-c．
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，．
从而C₁：，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由（Ⅰ）知，即3x²+4y²=12c²．
由，知x₃，x₄满足7x²-8cx-8c²=0，
从而．
由条件，得，故C₂：y²=6x．
由得，所以x₁+x₂=9．
于是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=12．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是每年的重头戏，一般作为压轴题出现，要想答对必须熟练掌握其基础知识，多做练习．