Question

【题目】设，正项数列的前项的积为，且，当时， 都成立.

（1）若， ， ，求数列的前项和；

（2）若， ，求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．

（2）根据已知条件和数列的等量关系求出数列的通项公式．

试题解析：

（1）当n≥2时，因为M={1}，所以=TnT1，可得an+1=ana1，

故=a1=3（n≥2）．

又a1=，a2=3，则{an}是公比为3的等比数列，

故{an}的前n项和为=3n﹣．

（2）当n＞k时，因为=TnTk，所以=Tn+1Tk，

所以=，即=an+1，

因为M={3，4}，所以取k=3，当n＞3时，有an+4an﹣2=an+12；

取k=4，当n＞4时，有an+5an﹣3=an+12．

由an+5an﹣3=an+12 知，

数列a2，a6，a10，a14，a18，a22，…，a4n﹣2，…，是等比数列，设公比为q．…①

由an+4an﹣2=an+1 知，

数列a2，a5，a8，a11，a14，a17，…，a3n﹣1，…，是等比数列，设公比为q1，…②

数列a3，a6，a9，a12，a15，a18，…，a3n，…，成等比数列，设公比为q2，…③

数列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，…，a3n+1，…，成等比数列，设公比为q3，…④

由①②得， =q3，且=q14，所以q1=；

由①③得， =q3，且=q24，所以q2=；

由①④得， =q3，且=q34，所以q3=；

所以q1=q2=q3=．

由①③得，a6=a2q，a6=a3q2，所以==，

由①④得，a10=a2q2，a10=a4q32，所以=，

所以a2，a3，a4是公比为q的等比数列，所以{an}（n≥2）是公比为q的等比数列．

因为当n=4，k=3时，T7T1=T42T32；

当n=5，k=4时，T9T1=T52T42，

所以（）7=2a24，且（）10=2a26，所以=2，a2=2．

又a1=，所以{an}（n∈N*）是公比为的等比数列．

故数列{an}的通项公式是an=2n﹣1．