Question

18．经过原点的直线l与圆x²+y²-6x-4y+9=0相交于两个不同点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 法一、适当引入参数，设出中点坐标，通过联立方程组，利用韦达定理，再消去参数得所求轨迹；
法二、设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入圆的方程，作差，利用中点公式，结合直线的斜率，消去参数求中点轨迹方程．

解答 解：法一、由题意可知直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-6x-4y+9=0}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y得，（1+k²）x²-（6+4k）x+9=0．
设此方程的两根为x₁、x₂，AB的中点坐标为M（x，y），
则由韦达定理和中点坐标公式，得x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{6+4k}{2（1+{k}^{2}）}$=$\frac{3+2k}{1+{k}^{2}}$．①
又点M在直线y=kx上，
∴y=kx．
∴k=$\frac{y}{x}$．②
将②代入①，得x=$\frac{3+2•\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$（x≠0），整理得x²+y²-3x-2y=0．
故轨迹是圆x²+y²-3x-2y=0位于已知圆内的部分；
解法二、设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：
x₁²+y₁²-6x₁-4y₁+9=0，①
x₂²+y₂²-6x₂-4y₂+9=0，②
①-②，得（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0．
设AB的中点为（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
代入上式，有2x（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，
即（2x-6）（x₁-x₂）+（2y-4）（y₁-y₂）=0．
∴$\frac{x-3}{y-2}=-\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-k．③
又∵y=kx，④
由③④得x²+y²-3x-2y=0．
故所求轨迹为已知圆内的一段弧．

点评 本题考查与圆有关的轨迹问题．法一为参数法，适当引入参数，再消去参数得所求轨迹；法二为“点差法”，是求中点轨迹的一种常用方法，该题是中档题．