Question

关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；
其中假命题的个数是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．

解答：解：设t=|x²-1|，则原方程等价为t²-t+k=0．判别式△=1-4k．
作出函数t=|x²-1|的图象如图：
由图象可知：当t＞1时，方程t=|x²-1|有2个不同的根，
当t=1时，方程t=|x²-1|有3个不同的根，
当0＜t＜1时，方程t=|x²-1|有4个不同的根，
当t=0时，方程t=|x²-1|有2个不同的根，
当t＜0时，方程t=|x²-1|有0个不同的根．
①要使方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有3个不同的实根，则对应方程t²-t+k=0的两个根t₁=1，t₂＜0，当t=1时，1-1+k=0，所以k=0，此时方程为t²-t=0，解得t=1或t=0，矛盾，所以①不正确．
②要使方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有4个不同的实根，则对应方程t²-t+k=0的两个根0＜t₁＜1，t₂1，t₂=0．
当0＜t₁＜1，t₂＜0时，因为t₁+t₂＜1与t₁+t₂=1，矛盾，
当t=0时，0-0+k=0，所以k=0，此时方程为t²-t=0，解得t=1或t=0，矛盾，所以②不正确．
③要要使方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有5个不同的实根，则对应方程t²-t+k=0的两个根t₁=1，t₂=0，
当t=1时，1-1+k=0，所以k=0，此时方程为t²-t=0，解得t=1或t=0，成立，所以③正确
④要使方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有6个不同的实根，则对应方程t²-t+k=0的两个根0＜t₁＜1，t₂=0，
当t=0时，0-0+k=0，所以k=0，此时方程为t²-t=0，解得t=1或t=0，矛盾，所以④不正确．
故选A．

点评：本题主要考查了方程解的个数判断，利用换元法将方程转化为我们熟悉的函数，是解决本题的关键，综合性较强难度较大．