Question

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b₁=3，令b_n+1=a_bn，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求数列{T_n-6n}中最小项的值．

Answer 1

解（1）∵点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上．
∴（a_n+1）²=S_n×4
当n≥2时，（a_n-1+1）²=S_n-1
两式相减可得S_n-S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²=a_n×4
即（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
∴（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=2∵，（a₁+1）²=4S₁∴a₁=1
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
（2）∵b_n+1=
∴b_n+1-1=2（b_n-1）∵b₁=3
∴b_n-1=2•2^n-1=2ⁿ
∴b_n=2ⁿ+1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2+1+2²+1+…+2ⁿ+1
=
=2ⁿ⁺¹+n-2
∴T_n-6n=2ⁿ⁺¹-5n-2
令F（n）=2ⁿ⁺¹-5n-2
∵F（n+1）-F（n）=2ⁿ⁺¹-5
当n=1时，F（2）＜F（1）
当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…F（3）＞f（2）
∴F（n）最小值为F（2）=-4
分析：（1）由点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上．可得（a_n+1）²=S_n×4，n≥2时，（a_n-1+1）²=S_n-1，两式相减结合a_n＞0可得a_n-a_n-1=2，由等差数列的通项公式可求
（2）由b_n+1=可得b_n+1-1=2（b_n-1），b₁=3，由等比数列的通项公式可求b_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，利用分组求和及等比数列求和公式可求T_n，结合T_n-6n的单调性可求最小项的值
点评：本题主要考查了由数列的和与项的递推公式求解数列的通项公式，等差数列通项公式的应用，由形如a_n=pa_n-1+q的递推公式构造等比数列求数列通项公式，等比数列的求和公式的应用，利用数列的单调性求解数列中的最小项的问题，属于综合性试题．