Question

（12分）已知函数f（x）＝lnx－（a≠0）

    （1）若a＝3，b＝－2，求f（x）在［，e］的最大值；

    （2）若b＝2，f（x）存在单调递减区间，求a的范围．

 

Answer 1

【答案】

 (1)当且仅当x=1，f(x)_max=f(1)=a-b=-+2= ；

(2) a的范围(-1,0)(0,+)

 

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的最值和函数单调性的逆向运用。

（1）由于=，然后分析当a＝3，b＝－2,时的导数，分别为正和负的取值范围，得到单调性，然后求解极值，和最值。

 

（2）因为f(x)存在递减区间，f′(x)<0有解那么即等价于ax²+2x-1>0有x>0的解，利用对参数a讨论得到范围。

解：(1) =-ax-b=-3x+2==-

 当时  f′(x)0；   1<xe     f′(x)<0

当且仅当x=1，f(x)_max=f(1)=a-b=-+2=……5分

(2) = -ax-2=

f(x)存在递减区间，f′(x)<0有解

ax²+2x-1>0有x>0的解…………7分

a>0,显然满足…………9分

a<0时，则△=4+4a>0且ax²+2x-1=0至少有一个正根，此时-1<a<0……11分

a的范围(-1,0)(0,+) …………12分