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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
(1) +=1   (2) k=±1

解:(1)由题设知,椭圆焦点在x轴上,
∴a=2.
由e==得c=,
∴b2=a2-c2=2.
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)由消去y,
整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2).
则Δ=(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-4)>0(※)
且x1+x2=,x1·x2=,
∴|MN|=
=
=
=
=
设点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d,
则d=.
∴S△AMN=|MN|·d==,
解得k=±1,
代入(※)式成立,∴k=±1.
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A.B.C.D.

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