Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=4，S₅=15．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=${2}^{{a}_{n}}$+2a_n，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列性质S₅=5a₃，求得a₃，由d=a₄-a₃，a₁=a₄-3d，根据等差数列通项公式求得a_n=n；
（2）由（1）可知：求得b_n=2ⁿ+2n，根据等差数列及等比数列前n项和公式即可求得T_n．

解答 解：（1）数列{a_n}是等差数列，由等差数列性质S₅=5a₃，
∴5a₃=15，即a₃=3，
d=a₄-a₃=4-3=1，
∴a₁=a₄-3d=1，
∴{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）b_n=${2}^{{a}_{n}}$+2a_n=2ⁿ+2n，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n，T_n=$\frac{2-{2}^{n+1}}{1-2}$+2×$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+n²+n．
数列{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ⁺¹+n²+n-2．

点评 本题考查等差数列的性质，主要考查等差及等比数列前n项和公式，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．