分析:(Ⅰ)求导数,验证f
n′(x)>0,即可得到结论;
(Ⅱ)将n>2,b=1,c=-1代入可得f
n(x)=x
n+x-1,结合指数函数的性质可得f
n′(x)=nx
n-1+1>0在(
,1)上恒成立,进而判断出函数在区间上单调,分析区间两端点的函数值符号关系,进而根据零点存在定理,可得答案;
(Ⅲ)将n=2,根据|f
2(x
1)-f
2(x
2)|≤4,分类讨论不同情况下b的取值范围,综合讨论结果,可得b的取值范围.
解答:(Ⅰ)解:∵
fn(x)=xn+bx+c,
∴
fn′(x)=nxn-1+b∵b>0,x>0,n∈N
+∴f
n′(x)>0
∴函数f
n(x)在(0,+∞)上的单调递增;
(Ⅱ)证明:由n>2,b=1,c=-1,得f
n(x)=x
n+x-1
∴f
n′(x)=nx
n-1+1>0在
(,1)上恒成立,
∴f
n(x)=x
n+x-1在
(,1)单调递增,
∵f
n(1)=1>0,f
n(
)=
()n-<0,
∴f
n(x)在区间
(,1)内存在唯一的零点;
(Ⅲ)解:当n=2时,f
2(x)=x
2+bx+c
①当b≥2或b≤-2时,即-
≤-1或-
≥1,此时只需满足|f
2(1)-f
2(-1)|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2,即b=±2;
②当0≤b<2时,即-1<-
≤0,此时只需满足f
2(1)-f
2(-
)≤4,即b
2+4b-12≤0
解得:-6≤b≤2,即b∈[0,2)
③当-2<b<0时,即0<-
<1,此时只需满足f
2(-1)-f
2(-
)≤4,即b
2-4b-12≤0
解得:-2≤b≤6,即b∈(-2,0)
综上所述:b∈[-2,2].
点评:本题考查零点存在定理,导数法判断函数的单调性,待定系数法求范围,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.