Question

已知点P是双曲线上除顶点外的任意一点，F₁、F₂分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF₁F₂的内切圆与F₁F₂切于点M，则|F₁M|•|F₂M|=________．

Answer 1

b²
分析：根据图象和圆切线长定理可知：|F₁M|=|F₁S|，|F₂M|=|F₂T|，|PS|=|PT|后根据双曲线的定义分P在图象的右支和左支可得
|F₁M|-|F₂M|=±2a，与|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c联立即可求出|F₁M|和|MF₂|，|F₁M|与|F₂M|的积再根据双曲线的基本性质c²-a²=b²化简得到值．
解答：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知：|F₁M|=|F₁S|，|F₂M|=|F₂T|，|PS|=|PT|
①当P在双曲线图象的右支时，而根据双曲线的定义可知
|F₁M|-|F₂M|=|F₁P|-|F₂P|=2a①；
而|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c②，
联立①②解得：|F₁M|=a+c，|F₂M|=c-a，所以|F₁M|•|F₂M|=（a+c）（c-a）=c²-a²=b²；
②当P在双曲线图象的左支时，而根据双曲线的定义可知
|F₂M|-|F₁M|=|F₂P|-|F₁P|=2a③；
而|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c④，
联立③④解得：|F₂M|=a+c，|F₁M|=c-a，|F₁M|•|F₂M|=（a+c）（c-a）=c²-a²=b²．
综上，可得|F₁M|•|F₂M|=b²．
故答案为：b²
点评：考查学生掌握双曲线的基本性质，灵活运用圆切线长定理化简求值．做题时注意利用分类讨论的数学思想．