Question

已知直线y=kx-4k+1与曲线

1-(x-1)2

=|y-1|-2恰有一个公共点，则实数k的取值范围是

{

-3- 3

4

，

-3+ 3

4

，

3- 3

4

，

3+ 3

4

}

．

Answer 1

分析：化简曲线方程可得曲线为2个圆，当直线和每一个圆相切时，利用点到直线的距离公式求得k的值，即可求得k的范围．

解答：解：由曲线

1-(x-1)2

=|y-1|-2，可得当y≥1时，（x-1）²+（y-3）²=1，
表示一个以A（1，3）为圆心，半径等于1的圆．
当y＜1时，由曲线方程可得（x-1）²+（y+1）²=1，表示以B（1，-1）为圆心，以1为半径的一个圆．
由于直线y=kx-4k+1=k（x-4）+1 经过定点M（4，1）．
①当直线和圆（x-1）²+（y-3）²=1相切时，由圆心A（1，3）到直线的距离d=r=1=

|k×1-3-4k+1|

k2+1

，
解得 k=

-3- 3

4

，k=

-3+ 3

4

．
②当直线和圆（x-1）²+（y+1）²=1相切时，由圆心B（1，-1）到直线的距离d′=r′=1=

|k×1+1-4k+1|

k2+1

，
解得 k=

3+ 3

4

，或 k=

3- 3

4

．
根据直线与曲线

1-(x-1)2

=|y-1|-2恰有一个公共点，
结合图形可得k的范围是{

-3- 3

4

，

-3+ 3

4

，

3- 3

4

，

3+ 3

4

}，
故答案为 {

-3- 3

4

，

-3+ 3

4

，

3- 3

4

，

3+ 3

4

}．

点评：本题主要考查圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．