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7.已知f(x)=(x+m)2n+1与g(x)=(mx+1)2n(n∈N*,m≠0).
(Ⅰ)若n=3,f(x)与g(x)展开式中含x3项的系数相等,求实数m的值;
(Ⅱ)若f(x)与g(x)展开式中含xn项的系数相等,求实数m的取值范围.

分析 (Ⅰ)n=3时,求出f(x)与g(x)展开式中的含x3项,利用系数相等,列出方程求m的值;
(Ⅱ)求出f(x)与g(x)展开式中含xn的项,利用系数相等列出方程求出m的表达式,再求m的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)当n=3时,f(x)=(x+m)7的展开式中
Tr+1=${C}_{7}^{r}$x7-rmr
令7-r=3,解得r=4,
∴f(x)展开式中含x3的项是${C}_{7}^{4}$m4x3
同理,g(x)=(mx+1)6展开式中的含x3项是${C}_{6}^{3}$m3x3
由题意得:${C}_{7}^{4}$m4=${C}_{6}^{3}$m3,…(3分)
解得m=$\frac{4}{7}$;   …(6分)
(Ⅱ)∵f(x)=(x+m)2n+1展开式中的通项公式为Tr+1=${C}_{2n+1}^{r}$x2n+1-rmr
令2n+1-r=n,
解得r=n+1;
∴展开式中含xn的项为${C}_{2n+1}^{n+1}$mn+1xn
同理g(x)=(mx+1)2n展开式中含xn的项为${C}_{2n}^{n}$mnxn
由题意得${C}_{2n+1}^{n+1}$mn+1=${C}_{2n}^{n}$mn
解得m=$\frac{n+1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$(1+$\frac{1}{2n+1}$);  …(9分)
∵n∈N*,∴0<$\frac{1}{2n+1}$≤$\frac{1}{2×1+1}$,
∴1<1+$\frac{1}{2n+1}$≤1+$\frac{1}{3}$,
即$\frac{1}{2}$<$\frac{1}{2}$(1+$\frac{1}{2n+1}$)≤$\frac{2}{3}$,
即m∈($\frac{1}{2}$,$\frac{2}{3}$].  …(12分)

点评 本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了方程与不等式的应用问题,是基础题目.

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