Question

7．已知f（x）=（x+m）²ⁿ⁺¹与g（x）=（mx+1）²ⁿ（n∈N^*，m≠0）．
（Ⅰ）若n=3，f（x）与g（x）展开式中含x³项的系数相等，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）与g（x）展开式中含xⁿ项的系数相等，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=3时，求出f（x）与g（x）展开式中的含x³项，利用系数相等，列出方程求m的值；
（Ⅱ）求出f（x）与g（x）展开式中含xⁿ的项，利用系数相等列出方程求出m的表达式，再求m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当n=3时，f（x）=（x+m）⁷的展开式中
T_r+1=${C}_{7}^{r}$x^7-rm^r，
令7-r=3，解得r=4，
∴f（x）展开式中含x³的项是${C}_{7}^{4}$m⁴x³；
同理，g（x）=（mx+1）⁶展开式中的含x³项是${C}_{6}^{3}$m³x³；
由题意得：${C}_{7}^{4}$m⁴=${C}_{6}^{3}$m³，…（3分）
解得m=$\frac{4}{7}$；   …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=（x+m）²ⁿ⁺¹展开式中的通项公式为T_r+1=${C}_{2n+1}^{r}$x^2n+1-rm^r，
令2n+1-r=n，
解得r=n+1；
∴展开式中含xⁿ的项为${C}_{2n+1}^{n+1}$mⁿ⁺¹xⁿ；
同理g（x）=（mx+1）²ⁿ展开式中含xⁿ的项为${C}_{2n}^{n}$mⁿxⁿ，
由题意得${C}_{2n+1}^{n+1}$mⁿ⁺¹=${C}_{2n}^{n}$mⁿ，
解得m=$\frac{n+1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2n+1}$）；  …（9分）
∵n∈N^*，∴0＜$\frac{1}{2n+1}$≤$\frac{1}{2×1+1}$，
∴1＜1+$\frac{1}{2n+1}$≤1+$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2n+1}$）≤$\frac{2}{3}$，
即m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．  …（12分）

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了方程与不等式的应用问题，是基础题目．