Question

已知函数f（x）是R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（　　）

A．（e^-1，1）

B．（0，e^-1）∪（1，+∞）

C．（e^-1，e）

D．（0，1）∪（e，+∞）

Answer 1

分析：当lnx＞0时，因为f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，所以f（lnx）＞f（1）等价于lnx＜1； 当lnx＜0时，-lnx＞0，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（lnx）＞f（1）等价于f（-lnx）＞f（1）．x=1时，lnx=0，f（lnx）＞f（1）成立．由此能求出x的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）是R上的偶函数，
在[0，+∞）上是减函数，f（lnx）＞f（1），
∴当lnx＞0时，因为f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，
所以f（lnx）＞f（1）等价于lnx＜1，解得1＜x＜e；
当lnx＜0时，-lnx＞0，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，
得f（lnx）＞f（1）等价于f（-lnx）＞f（1），
由函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，得到-lnx＜1，即lnx＞-1，
解得e^-1＜x＜1．
当x=1时，lnx=0，f（lnx）＞f（1）成立．
综上所述，e^-1＜x＜e．
∴x的取值范围是：（e^-1，e）．
故选C．

点评：本题在已知抽象函数的单调性和奇偶性的前提下，求解关于x的不等式，着重考查了函数的奇偶性与单调性等知识点，属于中档题．