Question

设向量

a

=(4cosα，sinα)，

b

=(sinβ，4cosβ)，

c

=(cosβ，-4sinβ)，
（1）若

a

⊥(

b

-2

c

)，求tan（α+β）的值
（2）若tanαtanβ=16，证明：

a

∥

b

．

Answer 1

分析：（1）求出

b

-2

c

，通过

a

⊥(

b

-2

c

)，数量积为0，求tan（α+β）的值
（2）通过tanαtanβ=16，化为弦函数，利用两个向量的坐标运算，然后证明

a

∥

b

．

解答：解：（1）向量

a

=(4cosα，sinα)，

b

=(sinβ，4cosβ)，

c

=(cosβ，-4sinβ)，
因为

a

⊥(

b

-2

c

)，所以

b

-2

c

=(sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ)，
4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
可得4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=0，
∴4sin（α+β）-8cos（α+β）=0
所以tan（α+β）=2．
（2）∵tanαtanβ=16，

sinαsinβ

cosαcosβ

=16，
即sinαsinβ=16cosαcosβ，
即sinα•sinβ-4cosα•4cosβ
所以

a

∥

b

成立．命题得证

点评：本题考查平面向量的数量积的计算，两角和的正弦函数的应用，向量共线的坐标运算，考查计算能力．