Question

定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1，5]=1．[-1，3]=-2，当x∈[0，n]（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a，则：
（1）a₃=

6

（2）式子

an+90

n

的最小值为

181

13

．

Answer 1

分析：根据题意：x∈[n-1，n）时，[x]=n-1，所以x∈[n-1，n）时，[x[x]=（n-1）x，所以[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，2，3，…，n，a_n=

n(n+1)

2

．
（1）n=3时，可求a₃的值
（2）

an+90

n

=

n

2

+

90

n

+

1

2

，根据函数在（1，13）单调递减，（14，+∞）单调递增，可得结论

解答：解：根据题意：x∈[n-1，n）时，[x]=n-1，∴x∈[n-1，n）时，[x[x]]=（n-1）²
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，2，3，…，n
∴a_n=

n(n+1)

2

（1）n=3时，a₃=

n(n+1)

2

=

3×4

2

=6
（2）

an+90

n

=

n

2

+

90

n

+

1

2

∴函数在（1，13）单调递减，（14，+∞）单调递增
 n=13时，

an+90

n

=

n

2

+

90

n

+

1

2

= 

181

13

； n=14时，

an+90

n

=

n

2

+

90

n

+

1

2

=

195

14

；
∵

181

13

＜

195

14

∴式子

an+90

n

的最小值为

181

13

故答案为：

181

13

点评：本题考查新定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．