Question

【题目】已知函数f（x）= ，x∈[2，5]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求不等式f（m+1）＜f（2m﹣1）的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解： ；

f（x）在[2，5]上单调递减，证明如下：

设x1，x2∈[2，5]，且x1＜x2，则：

= ；

∵x1，x2∈[2，5]，且x1＜x2；

∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0；

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在[2，5]上单调递减

（2）解：f（x）在[2，5]上单调递减；

∴由f（m+1）＜f（2m﹣1）得：

；

解得1≤m＜2；

∴原不等式的解集为[1，2）

【解析】（1）分离常数即可得到 ，容易看出f（x）在[2，5]上单调递减，根据减函数定义，设任意的x1 ， x2∈[2，5]，并且x1＜x2 ， 然后作差，通分，证明f（x1）＞f（x2），从而得出f（x）的单调性；（2）根据f（x）的定义域及单调性便可由原不等式得出关于m的不等式组，解出m的范围，这样即得出原不等式的解集．
【考点精析】认真审题，首先需要了解奇偶性与单调性的综合(奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性)．