Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，点E是PD的中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD
（2）求EC与平面ABCD所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，且四边长相等，在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²可推断出PA⊥AB．同样可推断出，PA⊥AD，进而根据直线与面垂直的定义判断出PA⊥平面ABCD．
（2）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD，则∠ECG即为所求，可得DE=

2 a

2

，EG=

1

2

PA=

a

2

，PC=

PA2+AC2

=

2

a，CD=a，PD=

2

a，在△PCD中，可求cos∠PDC，在△EDC中，由余弦定理可得EC=a，在△EGC中，即可求得sin∠ECG的值，从而得解．

解答： 证明：（1）∵底面是菱形，∠ABC=60°，AC=a，
∴可得AB=a，
∵PA=a，PB=

2

a，
∴在三角形PAB中，PB²=AB²+PA²，由勾股定理可得：PA⊥AB，
同理，在三角形PAD中，可得PD²=AD²+PA²，由勾股定理可得：PA⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD，则∠ECG即为所求．
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，DE=

2 a

2

，EG=

1

2

PA=

a

2

由于：PC=

PA2+AC2

=

2

a，CD=a，PD=

2

a，
在△PCD中，cos∠PDC=

PD2+DC2-PC2

2PD•DC

=

2

4

，
在△EDC中，由余弦定理可得：EC=

ED2+CD2-2ED•CD•cos∠PDC

=a，
在△EGC中，sin∠ECG=

EG

EC

=

a 2

a

=

1

2

．
故可解得：EC与平面ABCD所成的角∠ECG=30°．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定和直线与平面所成的角的解法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，考查了转化思想，属于中档题．