Question

【题目】已知函数f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g (x)＝x2＋ex－xex.

（1）当x∈[1，e] 时，求f (x)的最小值；

（2）当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g (x2)恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求出f（x）的定义域，求导数f′（x），得其极值点，按照极值点a在[1，e2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，可得其最小值；

（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min＜g（x）min，由（1）知f（x）在[e，e2]上递增，可得f（x）min，利用导数可判断g（x）在[﹣2，0]上的单调性，可得g（x）min，由 f（x）min＜g（x）min，可求得a的范围；

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）（a∈R），

当a≤1时，x∈[1，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，

所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a；

当1＜a＜e2时，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，x∈[a，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，

所以f（x）min＝f（a）＝a﹣（a+1）lna﹣1；

当a≥e2时，x∈[1，e2]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，

所以f（x）min＝f（e2）＝e2﹣2（a+1）；

综上，当a≤1时，f（x）min＝1﹣a；

当1＜a＜e2时，f（x）min＝a﹣（a+1）lna﹣1；

当a≥e2时，f（x）min＝e2﹣2（a+1）；

（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min＜g（x）min，

当a＜1时，由（1）可知，x∈[e，e2]，f（x）为增函数，

∴f（x1）min＝f（e）＝e﹣（a+1）

g′（x）＝x+ex﹣xex﹣ex＝x（1﹣ex），

当x∈[﹣2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x）min＝g（0）＝1，

∴e﹣（a+1）1，a，

∴a∈（，1）．