【题目】已知数列,的首项,且满足,,其中,设数列,的前项和分别为,.
(Ⅰ)若不等式对一切恒成立,求.
(Ⅱ)若常数且对任意的,恒有,求的值.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下且同时满足以下两个条件:
(ⅰ)若存在唯一正整数的值满足;
(ⅱ)恒成立.试问:是否存在正整数,使得,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)(3)存在正整数,使得,此时,或者.
【解析】分析:(1)根据可得是公差的等差数列,代入等差数列的求和公式即可得出;(2)用表示出和,根据的范围及恒等式得出,可得,从而可得结果;(3)利用条件可得,的通项,求出,,因为,所以,令,则,解之得,,故满足的值为,,,根据分类讨论思想可得出的存在性.
详解:(Ⅰ)由题设数列的首项,公差为,则,
(Ⅱ)因为,,所以,
,故,又因为,
得,所以,
因为,
所以,所以,
故.
(Ⅲ)因为,所以或者,
若时,舍去,
若时,,故,
而,因为,所以,令,则,解之得,,故满足的值为,,,
①当,若,则数列前为:,,,满足,
若,则数列前项为:,,,不满足舍去;
若,则数列前项为:,,,不满足舍去;
若,则数列前项为:,,,不满足舍去;
②当若,则数列前项为:,,不满足;
若,则数列前项为:,,不满足舍去;
③当,若,则数列前项为:,满足;
若,则数列前项为:,不满足舍去;
所以存在正整数,使得,此时,或者.
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【题目】矩形中, , 边所在直线的方程为,点在边所在直线上.
()求边所在直线的方程.
()求矩形外接圆的方程.
()若过点作题()中的圆的切线,求切线的方程.
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【题目】已知点A(l,2)在函数f(x)=ax3的图象上,则过点A的曲线C:y=f(x)的切线方程是( )
A. 6x﹣y﹣4=0 B. x﹣4y+7=0
C. 6x﹣y﹣4=0或x﹣4y+7=0 D. 6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0
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【题目】(本题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用茎叶图表示这两组数据;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)分析,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由
参考公式:
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【题目】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积.弧田,由圆弧和其所对的弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长等于米的弧田. 按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积的误差为_______平方米.(用“实际面积减去弧田面积”计算)
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【题目】已知三棱台ABC﹣A1B1C1中,平面BB1C1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,BB1=CC1=B1C1=2,BC=4,AC=6
(1)求证:BC1⊥平面AA1C1C
(2)点D是B1C1的中点,求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值.
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【题目】古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”:求作一个正方体,使它的体积等于已知立方体体积的2倍,倍立方问题可以利用抛物线(可尺规作图)来解决,首先作一个通径为(其中正数为原立方体的棱长)的抛物线,如图,再作一个顶点与抛物线顶点重合而对称轴垂直的抛物线,且与交于不同于点的一点,自点向抛物线的对称轴作垂线,垂足为,可使以为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的标准方程;
(2)为使以为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍,求抛物线的标准方程(只须以一个开口方向为例).
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【题目】如图,在四棱锥中,在底面中, 是的中点, 是棱的中点, = = = = = =.
(1)求证: 平面
(2)求证:平面底面;
(3)试求三棱锥的体积.
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