Question

22.如图，已知点F(1，0)，直线l：x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且

·

(I)求动点P的轨迹C的方程;

(II)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.

(1)已知的值;

(2)求||·||的最小值.

Answer 1

本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.

解法一：(I)设点P(x,y),则Q(-1，y),由得：

(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y²=4x.

(II)(1)设直线AB的方程为：

x=my+1(m≠0).

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),又M(-1,-).

联立方程组,消去x得：

y²-4my-4=0,

△     =(-4m)²+12＞0,

由得：

，整理得：

,

∴

=

=-2-

=0.

解法二：(I)由

∴·，

∴=0,

∴

所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y²=4x.

(II)(1)由已知

则：…………①

过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A₁、B₁,

则有：…………②

由①②得：

(II)(2)解：由解法一：

·＝()²|y₁-y_M||y₂-y_M|

                       =(1+m²)|y₁y₂-y_M(y₁+y₂)+y_M²|

                       =(1+m²)|-4+  ×4m+|
                       =

                       =4(2+m²+)  4(2+2)=16.

当且仅当，即m=1时等号成立，所以·最小值为16.