Question

（2010•南京模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f'（x）＜1，则不等式f（x²）＜x²+1解集

（-∞，-1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根据条件构造F（x）=f（x）-x，利用导数研究函数的单调性，然后将f（x²）＜x²+1可转化成f（x²）-x²＜f（1）-1即F（x²）＜F（1），根据单调性建立关系，解之即可．

解答：解：令F（x）=f（x）-x，又f'（x）＜1
则F'（x）=f'（x）-1＜0
∴F（x）在R上单调递减
∵f（1）=2
∴f（x²）＜x²+1可转化成f（x²）-x²＜f（1）-1
即F（x²）＜F（1）
根据F（x）在R上单调递减则x²＞1
解得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及利用构造法新函数解不等式，同时考查了转化思想，属于中档题．