Question

已知y=f（x）是定义域为(

1

2

，+∞)的可导函数，f（1）=f（3）=1，f（x）的导数为f′（x），且x∈(

1

2

，2)时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，则不等式组

-2≤x-2y≤ 1 2 f(2x+y)≤1

所表示的平面区域的面积等于（　　）

• A．

  1

  5

• B．

  3

  5

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：此题关键是找出可行域，已知y=f（x）是定义域为(

1

2

，+∞)的可导函数，f（1）=f（3）=1，f（x）的导数为f′（x），且x∈(

1

2

，2)时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞），说明f（x）在x=2处取得极小值，若f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3，画出可行域，根据线性规划问题进行求解；

解答：解：∵y=f（x）是定义域为(

1

2

，+∞)的可导函数，f（1）=f（3）=1，f（x）的导数为f′（x），且x∈(

1

2

，2)时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
说明f（x）在（

1

2

，2）为减函数，在（2，+∞）为增函数，在x=2取得极小值，
因为f（1）=f（3）=1，要使f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3①，
结合-2≤x-2y≤

1

2

②画出满足条件①②的可行域可得：

可知直线x-2y+2=0与2x+y=1、2x+y=3垂直，
所表示的平面区域是一个长方形，边长等于点（0，1）到直线2x+y=3的距离：d=

|1-3|

1+4

=

2

5

，
另一条边等于：

1+ 1 4

=

5

2

所以面积S=

2

5

×

5

2

=1，
故选D；

点评：此题是一道线性规划问题，利用导数研究函数的单调性，找出可行域，是解决此题的关键，此题是一道好题！