Question

设函数f（x）=lnx+（1-m）x^-1+2m-1-mx（m＞0）
（1）当x≥1时，若f（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）证明：

1

1.2

+

1

2.3

+

1

3.4

+…+

1

(n-1)n

≥lnn（n∈N^*且n≥2）．

Answer 1

分析：（1）当x≥1时，若f（x）≤0恒成立，只要函数f（x）是减函数即可，此时利用f′（x）＜0恒成立，从而得到m的范围．
（2）令m=

1

2

，得到不等式lnx≤

1

2

(x-

1

x

)，再令x=

n n-1

，得到ln

n

n-1

≤

1

(n-1)n

，从而再求和即证．

解答：解：（1）∵当x≥1时，f（1）=0，要使f（x）≤0恒成立，只要函数f（x）在x≥1是减函数即可，
故有f′（x）=

1

x

-

1-m

x2

-m≤0，∴m（1-

1

x2

 ）≥

1

x

-

1

x2

，∴m≥

1

x+1

．
由x≥1可得

1

x+1

≤

1

2

，故当 m≥

1

2

，f（x）≤0恒成立．故实数m的取值范围为[

1

2

，+∞）．
（2）证明：令m=

1

2

，由（1）可得lnx≤

1

2

(x-

1

x

)，即lnx²≤x-

1

x

(x=1取等)
令x= 

n n-1

，∴ln

n

n-1

≤

n n-1 -1

n n-1

=

1

(n-1)n

，
∴

1

1.2

+

1

2.3

+

1

3.4

+…+

1

(n-1)n

≥ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…+lnn-ln（n-1）=lnn（n∈N^*且n≥2）
即

1

1.2

+

1

2.3

+

1

3.4

+…+

1

(n-1)n

≥lnn（n∈N^*且n≥2）．即证．

点评：此题考查利用导数这个工具解决函数的单调性，及构造函数法证明不等式．