Question

平移f （x）=sin（ωx+?）（ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

），给出下列4个论断：（1）图象关于x=

π

12

对称（2）图象关于点（

π

3

，0）对称      （3）最小正周期是π      （4）在[-

π

6

，0]上是增函数以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：（1）

①②⇒③④

．（2）

①③⇒②④

．

Answer 1

分析：（1）由①得ω×

π

12

+∅=kπ+

π

2

； 再由②得ω

π

3

+∅=kπ，k∈z，以及ω、∅的范围，求得ω、∅的值，从而得函数解析式，从而求出周期和单调增区间，可得③④正确，故得①②⇒③④．
（2）由③可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅），再由①得  2×

π

12

+∅=kπ+

π

2

，k∈z，结合∅的范围可得φ=

π

3

，故函数f（x）=sin（2x+

π

3

），由此推出②④成立．

解答：解：（1）：①②⇒③④．
由①得ω×

π

12

+∅=kπ+

π

2

，k∈z．  由②得ω

π

3

+∅=kπ，k∈z．
又∵ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

，故有ω=2，∅=

π

3

．
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)，其周期为π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，可得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

．
故函数f（x）的增区间为[kπ-

5π

12

， kπ+

π

12

]，k∈z．
∵[-

π

6

，0]⊆[-

5π

12

，

π

12

]，
∴f（x）在区间[-

π

6

，0]上是增函数，
故可得 ①②⇒③④．
（2）：还可①③⇒②④．
由③它的周期为π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得  2×

π

12

+∅=kπ+

π

2

，k∈z．再由 -

π

2

＜?＜

π

2

可得φ=

π

3

，故函数f（x）=sin（2x+

π

3

）．
显然它的图象关于点（

π

3

，0）对称，由（1）可得 f（x）在区间[-

π

6

，0]上是增函数．
故可得 ①③⇒②④．
故答案为 （1）：①②⇒③④；  （2）：①③⇒②④．

点评：本题主要考查三角函数的周期性，单调性，对称性，以及学生构造命题拓展问题的能力，属中档题．