Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁（-2，0），右准线方程x=8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为右准线上一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求

PM

AP

的取值范围；
（3）设圆Q：（x-t）²+y²=1（t＞4）与椭圆C有且只有一个公共点，过椭圆C上一点B作圆Q的切线BS、BT，切点为S，T，求

BS

•

BT

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意知c=2，

a2

c

=8，由此得a²=16，b²=12，从而能够得到所求椭圆方程．
（2）设P点横坐标为x₀，则

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，由-4＜x₀≤4，知

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

，由此能得到

PM

AP

的取值范围．
（3）由题意得圆心Q为（5，0），设BQ=x，则

BS

•

BT

=|

BS

|•|

BT

|cos∠SBT=|

BS

|•|

BT

|(1-2sin2∠SBQ)=(x2-1)[1-2(

1

x

)2]=x2+

2

x2

-3，由此能得到

BS

•

BT

的最大值．

解答：解：（1）由题意得，c=2，

a2

c

=8得，a²=16，b²=12，
∴所求椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1；（4分）
（2）设P点横坐标为x₀，则

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，
∵-4＜x₀≤4，∴

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

．
∴

PM

AP

的取值范围是[

1

2

，+∞)；（9分）
（3）由题意得，t=5，即圆心Q为（5，0），
设BQ=x，则

BS

•

BT

=|

BS

|•|

BT

|cos∠SBT
=|

BS

|•|

BT

|(1-2sin2∠SBQ)
=(x2-1)[1-2(

1

x

)2]
=x2+

2

x2

-3，
∵1＜BQ≤9，即1＜x≤9，∴1＜x²≤81，
易得函数y=x2+

2

x2

在(1，

2

)上单调递减，在(

2

，81]上单调递增，
∴x²=81时，(

BS

•

BT

)max=

6320

81

．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．